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1. 问题描述

子串应该比较好理解，至于什么是子序列，这里给出一个例子：有两个母串

• cnblogs
• belong

比如序列bo, bg, lg在母串cnblogs与belong中都出现过并且出现顺序与母串保持一致，我们将其称为公共子序列。最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS），顾名思义，是指在所有的子序列中最长的那一个。子串是要求更严格的一种子序列，要求在母串中连续地出现。在上述例子的中，最长公共子序列为blog（cnblogs, belong），最长公共子串为lo（cnblogs, belong）。

2. 求解算法

对于母串 X=<x1,x2,⋯,xm>  Y=<y1,y2,⋯,yn> ，求LCS与最长公共子串。

暴力解法

假设  m<n ， 对于母串 X ，我们可以暴力找出 2m 个子序列，然后依次在母串 Y 中匹配，算法的时间复杂度会达到指数级 O(n∗2m) 。显然，暴力求解不太适用于此类问题。

动态规划

假设 Z=<z1,z2,⋯,zk> 是 X 与 Y 的LCS， 我们观察到

• 如果 xm=yn 则 zk=xm=yn ，有 Zk−1 是 Xm−1 与 Yn−1 的LCS；
• 如果 xm≠yn ，则 Zk 是 Xm 与 Yn−1 的LCS，或者是 Xm−1 与 Yn 的LCS。

因此，求解LCS的问题则变成递归求解的两个子问题。但是，上述的递归求解的办法中，重复的子问题多，效率低下。改进的办法——用空间换时间，用数组保存中间状态，方便后面的计算。这就是动态规划（DP)的核心思想了。

DP求解LCS

用二维数组c[i][j]记录串 x1x2⋯xi 与 y1y2⋯yj 的LCS长度，则可得到状态转移方程

代码实现（最长公共子序列）

public static int lcs(String str1, String str2) {    int len1 = str1.length();    int len2 = str2.length();    int c[][] = new int[len1+1][len2+1];    for (int i = 0; i <= len1; i++) {        for( int j = 0; j <= len2; j++) {            if(i == 0 || j == 0) {                c[i][j] = 0;            } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;            } else {                c[i][j] = max(c[i - 1][j], c[i][j - 1]);            }        }    }    return c[len1][len2]; //返回公共子序列的最大长度} 稍作修改，即可返回最长公共子序列   i和j分别从m，n开始，递减循环直到i = 0，j = 0。其中，m和n分别为两个串的长度。  ·如果str1[i] == str2[j]，则将str[i]字符插入到子序列内，i--，j--；  ·如果str1[i] != str[j]，则比较L[i,j-1]与L[i-1,j]，L[i,j-1]大，则j--，否则i--；（如果相等，则任选一个） import java.util.Scanner;import java.util.Stack;public class longestSubstring {	public static void main(String[] args) {		// TODO Auto-generated method stub		Scanner sc = new Scanner(System.in);		while (sc.hasNext()) {			String x = sc.next();			String y = sc.next();			int[][] a = lcs2(x, y);			int i = 0, j = 0;			for (i = 0; i <= x.length(); i++) {				for (j = 0; j <= y.length(); j++) {					System.out.print(a[i][j] + " ");				}				System.out.println();			}  //输出上图中的矩阵			Stack
   
     stk = new Stack
    
     ();			i = x.length();			j = y.length();			while (i > 0 && j > 0) {				if (x.charAt(i - 1) == y.charAt(j - 1)) {					stk.push(x.charAt(i - 1)); //从结尾开始（即矩阵的右下角）遍历序列为倒序，故引入栈来保存					i--;					j--;				} else if (a[i - 1][j] >= a[i][j - 1])					i--;				else					j--;			}			while (!stk.isEmpty()) {				System.out.print(stk.pop()); // 输出最长公共子序列			}			/** 求最长公共子序列长度 */			// int a=lcs2(x,y);			// System.out.println(a);		}	}	public static int[][] lcs2(String str1, String str2) {		// 最长公共子序列		int len1 = str1.length();		int len2 = str2.length();		int c[][] = new int[len1 + 1][len2 + 1];		for (int i = 0; i <= len1; i++) {			for (int j = 0; j <= len2; j++) {				if (i == 0 || j == 0) {					c[i][j] = 0;				} else if (str1.charAt(i - 1) == str2.charAt(j - 1)) {					c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;				} else {					c[i][j] = Math.max(c[i - 1][j], c[i][j - 1]);				}			}		}		// return c[len1][len2]; // 返回公共子序列长度		return c; // 返回公共子序列数组	}}
    
   

DP求解最长公共子串

前面提到了子串是一种特殊的子序列，因此同样可以用DP来解决。定义数组的存储含义对于后面推导转移方程显得尤为重要，糟糕的数组定义会导致异常繁杂的转移方程。考虑到子串的连续性，将二维数组c[i][j]用来记录具有这样特点的子串——结尾为母串 x1x2⋯xi 与 y1y2⋯yj 的结尾——的长度。

得到转移方程：

     

最长公共子串的长度为   max(c[i,j]), i∈{

代码实现（最长公共子串）

public static int lcs(String str1, String str2) {    int len1 = str1.length();    int len2 = str2.length();    int result = 0;     //记录最长公共子串长度    int c[][] = new int[len1+1][len2+1];    for (int i = 0; i <= len1; i++) {        for( int j = 0; j <= len2; j++) {            if(i == 0 || j == 0) {                c[i][j] = 0;            } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;                result = max(c[i][j], result);            } else {                c[i][j] = 0;            }        }    }    return result;//返回公共子串长度}

稍微修改一下，即可返回最长公共子串。endPosition记录公共子串的结尾字符位置。subStrlength记录公共子串的长度。

public static String lcs(String str1, String str2) {	    int len1 = str1.length();	    int len2 = str2.length();	    int subStrlength=0;	    int endPosition=0;	    int c[][] = new int[len1+1][len2+1];	    for (int i = 0; i <= len1; i++) {	        for( int j = 0; j <= len2; j++) {	            if(i == 0 || j == 0) {	                c[i][j] = 0;	            } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {	                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;	                if(subStrlength

参考：